Diviseur mystère - Corrigé

Énoncé

Lorsqu'on divise \(a\) par \(b\) , le reste vaut \(12\) ; lorsqu'on divise \(2a\) par \(b\) , le reste vaut \(5\) . Que vaut \(b\) ?

Solution

D'après l'énoncé, on a : \(a=bq+12\) et \(2a=bq'+5\) avec \(q\) , \(q' \in \mathbb{Z}\) et \(b>12\) .
On peut multiplier la première égalité par \(2\) , puis soustraire ces égalités, de manière à éliminer \(a\) :
\(\begin{align*}2a=2bq+24 \ \ \text{ et } \ \ 2a=bq'+5\end{align*}\)
donc \(\begin{align*}0=2bq+24-bq'-5=b(2q-q')+19\ \ \Longleftrightarrow \ \ b(2q-q')=-19\end{align*}\)
donc b est un diviseur de \(-19\) .
Comme on sait de plus que \(b>12\) , la seule possibilité est que \(b=19\) .